[측지기사 필답형 - 개념 정리] 삼각비, 사인법칙, 코사인법칙, 공학용계산기 sec 계산 방법(곡선설치, 삼변측량, 트래버스 등)

문제를 풀다보면 문과생이 풀기에는 어려운.. 식들이 자주 등장한다. 고등학생의 내가 측지기사를 딸거라고 생각이나 했을까요..? 삼각비에 대한 이해는 있으나.. 삼각함수 식이 등장하거나 삼각형의 길이와 각에 기반하여 응용이 들어가면 힘들어진다. 그러다가 개념을 한 번은 정리해봐야겠다 싶어서 나를 위해, 그리고 나와 같은 고민을 가진 사람들을 위해 간단히 작성해보려고 한다.

※ 주의: 법칙 등을 도출하는 과정은 없고, 문제 풀이를 위해 알아두면 좋을 식을 간단하게 정리해두었다. 자세한 개념은 각각의 수학 공식을 정리해 둔 글을 참고하는 것이 더 도움이 될 것이다.

삼각비

삼각비는 내 기억으로는 중학교 과정에 배울 수 있는 개념이다. 이 개념을 제대로 알고 있어야 다음 개념들도 이해가 가능하다.

직각삼각형일 때 아래의 공식이 성립한다. 삼각형 ABC를 직각을 기준으로 아래는 밑변, 수직인 변은 높이, 그 두개의 변을 잇는 빗변이 있다. 점 A, 점 B, 점 C에 대응하는 변(대변)을 각각 a, b,c 라고 기호를 정해준다.

사인은 sine이라고 하는데, 표기할 때는 sin이라고 한다. 기준각을 A로 뒀을 때 높이/빗변 = a/c = sinA라는 결과가 나온다. 삼각형 위에 핑크 글씨로 쓴것은 s의 필기체인데 왼쪽에서 오른쪽으로 글을 쓴다. 시작하는 곳이 분모, 끝나는 걸 분자로 해서 위와 같은 결과가 나온 것이다.

코사인은 cosine이라고 하는데, 표기할 때는 cos라고 한다. 기준각을 A로 뒀을 때 밑변/빗변 = b/c = cosA라는 결과가 나온다. cos도 sin 처럼 동일하게 외우기 쉬우라고 표현하였다.

탄젠트는 tan라고 한다. 기준각을 A로 뒀을 때, 높이/밑변 = a/b = tanA라는 결과가 나오는 것이다. 이 정도는 측지기사를 준비하려는 사람이라면 대부분은 알고 있을거라 생각한다.

 

삼각함수

삼각함수.. 교육과정의 연이은 개편으로 내가 고등학교 시절에는 문과생은 배우지 않았던 것 같다. 여기서부턴 고등교과과정이다. 나도 배우지 않아서 처음할 때 애를 먹었다. 기초적인 개념은 고등학교 때 배우는 것이 나중이 되어도 금방 기억나고 좋은 것 같다. 그 이후로는 그렇게 공부를 하지 않으니까.

단위원 개념 이해하기

측지를 배우다보면 필요한 개념인 것 같아서 써봤다. r=1인 원을 단위원이라고 한다. 원점에서 어느 점을 가더라도 1이라는 길이가 나온다. 이걸 이용해서 다양하게 풀 수 있다.

한 점을 A라 하고 그 곳의 좌표를 (x,y)라 하면, A점에서 수직인 선을 그어주면 그 곳까지의 길이가 x가 되고, 해당 삼각형의 높이는 y가 된다. 빗변은 반지름길이인 1이 된다.

sin θ는 높이/빗변 = y/1 = y가 된다. 결국 sin θ = y이다. 

cos θ는 밑변/빗변 = x/1 = x가 된다. 그렇게 되면 cos θ=x라는 결론이 나온다.

다음으로 tan θ = 높이/밑변 = y/x = sin θ / cos θ이 된다.만약 내가 x,y 좌표를 알고 있다면, arc tan 등을 활용하여 각의 크기를 구해볼 수도 있으니, 단위원의 개념도 알아두면 좋다.

 

사인법칙 sine 과 코사인 법칙(제2법칙) cos

빈번하게 사용하는 사인 법칙이다. 처음엔 어떻게 이런 식이 가능한 거지..! 했는데 알고보니 사인법칙이었다. 뭐든 많이 알아두면 공부하는 데 도움이 되는 것 같다.

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R이 사인법칙이다. 이것을 그림의 1번과 2번을 활용하여 문제를 풀 수 있다.

 

코사인법칙 (제2법칙) cos

코사인제2법칙이라고 들었었는데, 요즘에는 교육과정에서 헷갈리는 걸 방지하기 위해 코사인법칙이라고도 하던데 정확한 건 아니다. 측지기사에서 코사인법칙은 삼변측량에 사용된다. 삼변측량이란 세 변의 길이로 세 개의 각을 도출해내는 것이라고 생각하면 된다. 식이 복잡하지만 한 번 알아두면 편하게 문제를 풀 수 있다. 도출된 세 개의 각이 180도가 되어야 한다는 것도 잊지 말 것! 필답형에서 검산은 필수다.

자세한 식은 위의 그림을 참고하시길!

 

공학용계산기에서 sec 계산하는 법

곡선설치에서 계산을 하다보면 공식에 sec가 등장한다. sin-1 cos-1도 겨우 이해했는데.. ㅎ 나중에 알고 보니 삼각함수를 하면 다 배우는 거였다.. 나는 그걸 몰랐었고 이제는 이해보다는 암기 단계에 도달해버렸다.

곡선설치에서 외할(E)를 구할 때, 식에 sec가 등장하는데 처음엔 어떻게 계산하는 거지 당황했었다. 하지만 sec는 cos의 역수를 의미하는 말이다. 아주 간단했던 것!

공학용계산기에서 계산하는 법은 다음과 같다. 저는 CASIO fx-570ES PLUS 계산기를 사용합니다.

계산기에 있는 cos을 사용해줍니다.

 

 

1/cos(각) = 1÷cos(각)의 방법을 사용해주면 됩니다. 값은 똑같이 나와서 자신에게 맞는 편한 방법을 사용하시길!